Leyes de Kirchhoff

En este artículo, vamos a ver las leyes de Kirchoff, las cuales son necesarias para poder resolver ciertos tipos de circuitos eléctricos, como veremos en el artículo. Estas leyes son esenciales en el análisis de circuitos en ingeniería eléctrica.

Cito de la Wikipedia:

Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) fue un físico prusiano cuyas principales contribuciones científicas estuvieron en el campo de los circuitos eléctricos, la teoría de placas, la óptica, la espectroscopia y la emisión de radiación de cuerpo negro…Kirchhoff es responsable de dos conjuntos de leyes fundamentales, en la teoría clásica de circuitos eléctricos y en la emisión térmica. Aunque ambas se denominan Leyes de Kirchhoff, probablemente esta denominación es más común en el caso de las Leyes de Kirchhoff de la ingeniería eléctrica.

Para explicar las leyes de Kirchhoff, voy a recurrir al final al simulador LTSpice de Linear Technology. Primero lo haremos a mano y después lo simularemos para comprobar que todo es correcto.

Empezamos. Sea el siguiente esquema:

200217_2.png

Os preguntareis que pinta Rd en el esquema. Es una resistencia que sirve para que LTSpice pueda simular este circuito y no perjudica en absoluto el funcionamiento del mismo debido a su alto valor. De momento solo necesitáis saber eso, que Rd no es parte del circuito, es un truco para que el programa de simulación que usamos pueda funcionar correctamente.

Antes de entrar a explicar las leyes de Kirchoff, hay que definir previamente lo que es una malla y lo que es un nudo.

  • Nudo: Es un punto en el que se unen varios componentes. Por ejemplo, R3, R4 y R5 se unen en una conexión a la que llamaremos nudo. En el ejemplo hay cuatro nudos.
  • Malla: Es un trayecto cerrado de varios componentes. En el ejemplo hay tres mallas.

Sigamos: Las leyes de Kirchoff son dos y estas son las siguientes:

  • La suma algebraica de corrientes que entran en nudo es igual a cero.
  • La suma algebraica de las tensiones alrededor de una malla es igual a cero.

Bajo estas dos premisas se pueden calcular las corrientes de un circuito como este. Tendríamos cuatro nudos y tres mallas.

Se podría usar directamente las leyes de Kirchhoff para resolver el circuito directamente, pero es pesado y además es fácil equivocarse.

En el análisis de circuitos en ingeniería, existen dos tipos de análisis. Ambos están basados en las leyes de Kirchhoff. Son los que utilizaremos en este artículo para resolver el problema.

Uno se denomina de nodos y el otro se denomina análisis de mallas. En el último se imaginan corrientes dentro de cada malla. En este artículo usaremos el último.

Como mas vale una imagen que mil palabras, procederé a explicarlo mediante un circuito de ejemplo.

Imaginemos tres corrientes que circulan en sentido horario dentro de cada malla: i1, i2 e i3

200217_3

Estas corrientes no existen, son una argucia matemática para una vez calculadas, calcular las corrientes que circulan en cada nodo. Ejemplo:

En el nodo 1. i1+(i2-i1)-i2=0
En el nodo 2. (i3-i1)+(i2-i3)+(i1-i2)=0
En el nodo 3. i2+(i3-i2)-i3=0
En el nodo 4. (i1-i3)-i1+i3=0

Con esto y con las ecuaciones que se obtuviesen de las mallas, ya podríamos resolver el sistema. Este sistema es laborioso y fácil equivocarse, con lo que lo haremos basándonos en Kirchoff pero con el análisis de mallas.

RESOLVER EL SISTEMA MEDIANTE EL ANÁLISIS DE MALLAS

Vemos que hay tres corrientes que circulan en sentido horario dentro de cada malla: i1, i2 e i3.

Nos queda en la primera malla:

-7+1(i1-i2)+2(i1-i3)+6=0 \ \rightarrow \ 3i1-i2-2i3=1

En la segunda:

2i2+3(i2-i3)+1(i2-i1)=0 \ \rightarrow \ -i1+6i2-3i3=0

Y en la tercera y última:

1i3+3(i3-i2)+2(i3-i1)-6=0 \ \rightarrow \ -2i1-3i2+6i3=6

De esta manera obtenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Lo vamos a resolver mediante la regla de Cramer (es el determinante de una matriz).

Empezaremos calculando el determinante del denominador:

Denom=\begin{bmatrix} 3 & -1 & -2 \\ -1 & 6 & -3 \\ -2 & -3 & 6 \end{bmatrix}=39

Calculamos el numerador de i1:

num \ i1=\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 6 & -3 \\ 6 & -3 & 6 \end{bmatrix}=117

Calculamos el numerador de i2:

num \ i2=\begin{bmatrix} 3 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & -3 \\ -2 & 6 & 6 \end{bmatrix}=78

Calculamos el numerador de i3:

num \ i3=\begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 6 & 0 \\ -2 & -3 & 6 \end{bmatrix}=117

Ahora calculamos las tres corrientes:

i1=\frac{num \ i1}{Denominador}=\frac{117}{39}=3A

i2=\frac{num \ i2}{Denominador}=\frac{78}{39}=2A

i3=\frac{num \ i3}{Denominador}=\frac{117}{39}=3A

Ya tenemos los resultados calculados mediante “lápiz y calculadora”.

Si simulamos el circuito dibujado anteriormente con LTSpice, obtendremos lo siguiente:

200217_4

ES IMPORTANTE decir que las corrientes de las mallas son corrientes de lazo, mientras que los resultados que se obtienen del simulador son corrientes de los cuatro nudos del esquema.

Tendréis que hacer los cálculos necesarios para calcular las corrientes de lazo y ver que efectivamente coinciden. Vamos a hacerlo a continuación:

iR1=i1-i2=3-2=1
iR2=i3-i1=3-3=0
iR3=3
iR4=i2=2
iR5=i2-i3=2-3=-1

Vemos que coincide lo calculado con lo simulado, cqd (como queríamos demostrar).

REFERENCIAS:

Análisis de circuitos en Ingeniería. William H. Hayt / Jack E. Kemmerly

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